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Un siglo después, las fórmulas de este prodigio matemático finalmente se desentrañan

Anonim

Hace ciento un año, en 1913, el famoso matemático británico GH Hardy recibió una carta de la nada. Los sellos indios (coloniales británicos) y la curiosa escritura llamaron su atención, y cuando la abrió, se quedó estupefacto. Sus páginas estaban repletas de ecuaciones, muchas de las cuales nunca antes había visto. Había muchos tipos de fórmulas allí, y las que primero llamaron su atención tenían que ver con números algebraicos . Hardy fue el principal teórico de los números en el mundo. ¿Cómo no pudo reconocer las identidades relacionadas con tales números, anotados en el papel? ¿Fueron estas nuevas derivaciones, o fueron solo garabatos matemáticos sin sentido? Más tarde, Hardy diría esto sobre las fórmulas: "Me derrotaron por completo". ¡Nunca antes había visto algo igual!

Ahora, por primera vez, los matemáticos han identificado las matemáticas detrás de estos garabatos innovadores, lo que arroja más luz sobre el genio que los creó.

La mente detrás de las matemáticas

La carta fue escrita por Srinivasa Ramanujan, un joven pobre de la ciudad de Madras, en el sur de India, que trabajaba en la pobreza y tenía poca formación matemática, pero una capacidad sobrenatural para derivar identidades matemáticas aparentemente fuera del vacío. Las ecuaciones que envió a Hardy vinieron sin ninguna prueba o explicación teórica. Ramanujan finalmente dijo que las fórmulas le llegaron en un sueño, presentado como verdades matemáticas por la diosa de su familia, Namagiri Amman (generalmente conocida en la India como Lakshmi, la esposa de Vishnu).

Hardy mostró la carta inusual y otras que siguieron a otros matemáticos, y algunos le dijeron que creían que el escritor era un charlatán que afirmaba que las falsificaciones eran matemáticas. Pero uno de ellos, Percy MacMahon de Cambridge, vio una profunda conexión entre el trabajo de Ramanujan y las particiones de los números en los que había estado trabajando, y esta idea ayudó a convencer a Hardy de que los escritos de Ramanujan eran verdaderos y nuevos. Al estudiar las letras aún más, Hardy decidió que las identidades matemáticas incluidas en ellas, que incluyen sumas infinitas y productos infinitos, llamadas q series, eran auténticas, y que eran muy valiosas para las matemáticas como una forma de derivar números algebraicos. Más tarde, quedó claro que la clave de las fórmulas de Ramanujan eran dos series q peculiares: las llamadas "identidades de Rogers-Ramanujan", estudiadas por primera vez a fines del siglo XIX por el matemático británico Leonard James Rogers. Hardy concluyó acerca de las identidades de Ramanujan: "Tenían que haber sido escritas por un matemático de la clase más alta. Deben ser ciertas porque nadie tendría la imaginación para inventarlas ”.

Un abrupto final

Impresionado e intrigado por la fuente de estas fórmulas, Hardy invitó a Ramanujan a unirse a él en Cambridge. El joven indio aceptó el gesto y abordó un barco de Madras a Londres después de recibir el permiso para el viaje de su madre y la diosa de la familia. Hardy y Ramanujan trabajaron juntos en Cambridge durante unos cortos e intensos años, Ramanujan produjo cientos de nuevos resultados matemáticos, que Hardy trató de explicar y probar junto con él. Hardy diría, tarde en la vida, que traer a Ramanujan a Inglaterra fue su mayor logro como matemático.

Pero Ramanujan ya estaba enfermo cuando llegó a Cambridge, y fue hospitalizado frecuentemente con varios síntomas, inicialmente se creía que era de tuberculosis, pero ahora se concluyó que era una infección hepática parasitaria. Su salud se deterioró constantemente y finalmente decidió regresar a la India para estar cerca de su familia. Murió allí en 1920, a la temprana edad de 32 años.

Desde entonces, los matemáticos han estado fascinados por los resultados de Ramanujan y ha habido muchos intentos de encontrar la fuente de sus ecuaciones que producen números algebraicos. Freeman Dyson, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, según se informa, pasó los deprimentes años de Guerra en Londres ocupándose del estudio de las identidades de Ramanujan. Pero el origen de las fórmulas siguió siendo un misterio por otros 70 años.

Buscando el velo materno matemático

En abril, en el centenario de la llegada de Ramanujan a Cambridge, finalmente se encontró la fuente de sus ecuaciones. Ken Ono de la Universidad de Emory, su estudiante graduado Michael Griffin y su colega Ole Warnaar de la Universidad de Queensland presentaron teoremas que acababan de demostrar, que generalizan enormemente el trabajo de Ramanujan e identifican la fuente de sus fórmulas matemáticas.

Ono y sus colegas descubrieron que las dos identidades de Rogers-Ramanujan eran solo ejemplos específicos de una reserva literalmente infinita de identidades generales que empleaban sumas y productos infinitos similares. En palabras de Ono, habían encontrado la veta madre que le dio a Ramanujan sus "pepitas de oro".

El nuevo trabajo es muy complicado, incluidas las matemáticas que no existían en el momento de Ramanujan. Ono y sus colaboradores utilizaron la teoría de la representación moderna (una parte del álgebra abstracta), así como formas modulares (un área en el análisis matemático), que ayudaron a Andrew Wiles a probar el último teorema de Fermat, y también emplearon polinomios de Hall-Littlewood .

Este nuevo y vasto océano de identidades de Rogers-Ramanujan-Ono-Griffin-Warnaar tiene la propiedad deseable de que produce números algebraicos (que generalmente son difíciles de obtener) con bastante facilidad. Uno de ellos es Φ (phi), la "proporción áurea" omnipresente en el arte y la naturaleza. Este número, 1.618.

, es el límite de los términos sucesivos de la secuencia de Fibonacci, que incluso apareció en el libro de Dan Brown, El código Da Vinci .

Phi fue uno de los números clave que ocuparon la atención de Ramanujan, y el nuevo trabajo allana el camino para el descubrimiento de muchos números similares. Lo que el no entrenado Ramanujan afirmó haber obtenido de su diosa se considera un ejemplo de una gran verdad subyacente que ahora poseen las matemáticas modernas: una forma de generar números similares.

El misterio permanece

Ramanujan y su trabajo han atraído una amplia atención. El profesor Bruce Berndt, de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, ha pasado 40 años estudiando las cartas y cuadernos de Ramanujan, incluido un “cuaderno perdido” descubierto en 1976, tratando de proporcionar pruebas de los resultados matemáticos que Ramanujan había declarado como hechos.

"Teníamos un lugar para comenzar", me dijo, "así que nuestro trabajo fue algo más fácil: tomamos las identidades de Ramanujan como verdaderas y luego las probamos". Luego agregó: "Pero las pruebas fueron muy difíciles". ¿Cómo supo Ramanujan que estas cosas eran ciertas? ¿Cómo se le ocurrieron hechos matemáticos tan inesperados? "No conocemos las ideas de Ramanujan", dijo. "Nuestras pruebas son probablemente mucho más difíciles que las que él tenía en mente".

Por lo tanto, el misterio de cómo Ramanujan en realidad obtuvo su perspicacia sobre los números y las ecuaciones se mantiene incluso ahora. El enigma se refleja en quizás la historia más famosa sobre el teórico numérico indio. Mientras Ramanujan estaba recostado en una cama de hospital en Putney, Inglaterra, en 1917, Hardy fue a verlo. "Mi taxi tenía un número bastante aburrido", dijo Hardy, haciendo una conversación, "era 1729".

"No, Hardy! ¡No, Hardy! "Ramanujan se levantó de la cama y exclamó:" ¡Es un número muy interesante! Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes. ”(Esto se debe a que 1729 = 10 3 + 9 3 = 12 3 + 1 3 ). Ramanujan, naturalmente, sabía tales cosas, dejando ambas pruebas y Detalles a otros.

Barra lateral: ¿Qué son los números algebraicos?

Los números que aparecen como soluciones de ecuaciones, como los estudiados por Ramanujan, son de cierta clase, y es un ejemplo de ellos. Estos son los números algebraicos . La teoría sobre tales números es interesante por derecho propio.

Conocemos muchos tipos de números, y es útil resumirlos aquí. Los números más simples y más antiguos descubiertos (ya conocidos por los humanos primitivos) se llaman números naturales: 1, 2, 3, .

, hasta el infinito, y este conjunto se denota por N. Luego, si agrega a estos números cero, forma lo que los matemáticos llaman un grupo bajo adición, lo que significa que ahora puede definir inversos aditivos, es decir, los enteros negativos. El conjunto ampliado de números se llama los enteros y se denota con Z (del alemán para números, Zahlen). Agregue otra operación, multiplicación, y ahora también tiene inversos multiplicativos (excepto por cero), que son todas las fracciones, lo que significa cocientes de enteros, y el conjunto ampliado ahora es el campo de los números racionales, indicado por Q. Cuando agrega a este conjunto todos los números irracionales (números que no pueden escribirse como cocientes de enteros), obtiene el campo R de todos los números reales (estos son los números en la recta numérica real, y los llamamos “Real” para distinguirlos de los números imaginarios; si además les agrega todas las combinaciones de los números imaginarios y los números reales, obtiene el campo C de los números complejos).

El matemático alemán Georg Cantor demostró en la década de 1800 que, si bien todos estos conjuntos de números son infinitos, no son del mismo tamaño infinito. Usando métodos ingeniosos, demostró que hay tantos números racionales como enteros y enteros positivos. Entonces, N, Z y Q tienen el mismo tamaño infinito (o cardinalidad ), mientras que los números reales, R, tienen un orden más alto de infinito (aunque no sabemos lo que es, la conjetura no comprobable de Cantor al respecto) se llama la hipótesis del continuo ). El "infinito ampliado" se debe a todos los números irracionales: ¡hay demasiados! Decimos que N, Z y Q son contables, mientras que R es incontable (y también lo es C ).

Números algebraicos

Pero la historia se complica. Los números que se pueden obtener como soluciones de ecuaciones con coeficientes de número racional se denominan algebraicos . Entonces, los números algebraicos pueden ser irracionales, por ejemplo, √2. Este número es algebraico porque es la solución de la ecuación x 2 - 2 = 0, cuyos coeficientes son todos racionales (de hecho, entero): 1 y -2. Los números algebraicos fueron uno de los principales puntos de interés en el trabajo de Ramanujan. La proporción de oro, Φ = 1.618.

, es irracional pero algebraico, porque es la solución de la ecuación x 2 - x - 1 = 0. Ramanujan utilizó sumas y productos infinitos para obtener ese número de otra manera. Puede hacerlo realizando la operación (infinita) en su calculadora: 1 + 1 = 1 / x + 1 = 1 / x + 1 = 1 / x.

y ver que el número en la pantalla converge a 1.618.

y alternativamente a 0.618.

(que es 1 / Φ). Esta serie de operaciones es la especificada por Ramanujan (aunque, por supuesto, no utilizó una calculadora).

Un hecho fascinante acerca de los números algebraicos es que son contables, es decir, tienen el mismo orden de infinito que N, Z y Q, incluso aunque sean miembros del conjunto superior (no contable) R. Así su orden de infinito es más peatonal. Los números irracionales de núcleo duro, aquellos que no son algebraicos, se denominan números trascendentales . Estos incluyen π (pi) y e . ¡Hay "infinitamente más" tales números que números algebraicos, o enteros, o números racionales!

Cuadrar el circulo

Un hecho interesante es que es debido a que π es trascendental que es imposible cuadrar el círculo, como los antiguos habían tratado de hacer. Este hecho solo se conoció en el siglo XIX, cuando los números algebraicos se entendieron bien. Sucede que cuadrar el círculo, lo que significa construir con regla y compás un cuadrado cuya área es la misma que la de un círculo dado, equivale a resolver una ecuación con coeficientes racionales y obtener π como la solución. Esto es imposible porque π es trascendental, y por lo tanto no es algebraico. Nunca puede haber una ecuación tal que produzca π como una solución.

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